수학 문제 상황에 대한 학생들의 문제 해결과 이를 통해 살펴본 학생들의 수학적 이해
Students' problem solving in mathematical problem and their mathematical understanding observed through the process
- 주제(키워드) 문제해결
- 발행기관 서강대학교 교육대학원
- 지도교수 이재성
- 발행년도 2012
- 학위수여년월 2012. 8
- 학위명 석사
- 학과 및 전공 교육대학원 수학교육
- 실제URI http://www.dcollection.net/handler/sogang/000000047608
- 본문언어 한국어
- 저작권 서강대학교 논문은 저작권 보호를 받습니다.
초록/요약
학생들의 수학문제해결은 두 양상으로 나타난다. 이는 문제 상황에서 학생들이 수학의 개념에 대한 이해와 문제를 해결하기 위한 알고리즘의 구조적 원리를 모른 채 단순히 공식만을 적용하는 도구적 이해로써의 문제해결과 학생 스스로가 문제 상황을 이해하고 이를 바탕으로 결과를 예측하며 해결전략을 세워 결과를 얻어내는 관계적 이해로써의 문제해결로 구분된다. 그 중 최근 수학 교육은 학생들의 이해 증진에 노력을 기울이고자 후자의 교육을 지향한다. 즉 교사는 학생들을 지도하는 데 있어 ‘문제해결에 대한 지도’에서 ‘문제해결을 위한 지도’ 방법에 더욱 초점을 두고 있다. 그러나 교사들이 어떻게 학생들에게 수학을 지도하느냐에 앞서 학생들은 어떻게 수학 문제를 이해하고 해결하는가에 대한 연구가 선행되어져야 할 것이다. 따라서 연구자는 이를 알아보기 위해 학생들에게 여러 문제 상황들을 제시하여 해결하게 하고 관찰 및 인터뷰를 통해 학생들의 문제해결과 그 전략에 대해 알아보았다. 그리고 문제해결에서 나타나는 학생들의 오류 및 어려움에 대해 알아보았다. 이 연구는 학생들의 문제해결 및 수학의 이해를 살펴보고자 함으로 수업 참여와 인터뷰에 있어 적극성이 요구된다. 따라서 연구자는 수학에 관심이 많고 수학 성적이 우수한 고등학생들을 선정하여 연구를 실시하였다. 연구자는 연구를 위한 각 문제 상황들을 선정 및 계획하고 학생들에게 수업을 실시하며 학생들의 문제해결과정을 관찰하였다. 그리고 해당 수업 내용에 관해 2학년 학생들을 대상으로 심층 인터뷰를 실시하여 문제해결에 대해 좀 더 구체적으로 알아보았다. 연구 결과 제시된 문제 상황들에 대해 학생들은 문제의 이해 단계에서 지식을 구조화하고 이를 바탕으로 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 계획하고 실행하였다. 이해 단계에서 학생들은 자신의 지식수준과 문제에서 제시된 사실을 바탕으로 문제해결의 절차를 예상하는 형식으로 지식을 구조화하였다. 또한 학생들은 제시된 문제 상황과 관련된 이전의 학습 경험을 유도하여 문제 상황을 친숙하게 함으로써 접근을 용이하게 하고 수학적 스키마를 형성, 문제해결에 적용하였다. 이러한 수학적 스키마에 대해 연구자는 단순한 스키마와 복잡한 스키마로 세분화하여 학생들의 문제해결에서 나타나는 수학적 스키마를 분류 및 분석하였다. 학생들은 수학적 스키마를 통해 문제 상황을 범주화함으로써 문제의 이해를 돕고, 문제해결에 있어 좀 더 조직적으로 체계화 할 수 있었다. 이러한 문제의 이해를 바탕으로 학생들은 문제해결의 결과를 예측하며 문제해결을 위한 여러 시나리오를 계획하고 다양한 시행착오를 거쳐 문제를 해결하였다. 더욱이 학생들은 문제해결의 실행 단계에서 대문항 안의 세부문항들을 통해 문제해결의 단서를 제공받고 이로 인해 시행착오를 최소화하였다. 이는 학생들의 문제해결에 도움을 제공한 반면 학생들의 논리적 추론을 감소시킬 수 있다는 양면성을 지닌다. 그러나 이 연구에서 연구자는 학생들이 문제를 해결하는 동안 검증 및 반성의 단계가 부재함을 문제점으로 제기한다. 학생들은 문제해결에 대한 확신의 부재와 시간부족이란 이유로 반성 단계를 생략하거나 최소화하는 것을 연구에서 살펴볼 수 있었다. 이를 개선하기 위한 교사의 노력이 요구된다. 이와 같이 학생들은 ‘추론, 통찰, 발견’의 인지 활동을 바탕으로 직면한 문제 상황들을 ‘이해, 계획, 실행, 반성’의 단계로 해결하였다. 또한 학생들은 문제해결을 하는 동안 문제해결을 돕고자 적절히 문제해결전략을 세워 문제를 해결하였다. 선행연구를 바탕으로 연구자는 문제해결전략을 ‘그림 그리기, 예상하고 확인하기, 패턴 찾기, 문제 상황에 대해 극단적인 경우 생각해보기, 내용 조직하기, 논리적인 추론, 문제 상황을 유사하고 단순한 형태로 만들기, 문제해결과정에서 나타나는 모든 가능성 세어보기, 다른 관점에서 생각해보기, 거꾸로 풀기’로 분류하여 각 문제 상황에서 사용된 전략에 대해 알아보았다. 연구 결과 학생들은 문제를 이해하거나 해결하기 위해 자신의 메타인지를 거쳐 문제 상황에 적절한 문제해결전략을 선택하여 문제해결의 알고리즘을 형성하였다. 요컨대 이 연구는 학생들이‘수학을 배운다.(learning math)’가 아닌 ‘수학을 한다.(doing math)’의 관점에서 제시되는 문제 상황에 관한 학생들의 문제해결과 그 전략을 살펴보았다. 그 결과 학생들은 문제를 해결하는 동안 수학적 개념과 그 개념을 바탕으로 한 문제해결의 절차 간에 동적인 상호작용을 하도록 하였고, 또한 문제를 해결하기 위해 메타인지와 문제해결전략을 사용하였다는 특징이 있다. 그러나 이와 같이 학생들이 문제를 해결할 수 있도록 하는 데 교사의 역할이 중요함을 연구에서 살펴볼 수 있었다. 연구 결과 학생들의 문제해결 구조 및 메타인지의 구조는 교사의 지시 아래 체계적으로 제공되었을 때 효과적임을 살펴볼 수 있었다. 그리고 실제 수업 환경은 다양한 수준의 학생들로 구성되어 있음으로 인해 교사가 학생들에게 일관된 감독자, 조력자, 모델 역할을 유지하기가 힘듦으로 적절한 조절이 요구됨을 살펴볼 수 있었다. 따라서 교사는 학생들의 문제해결을 위해 학생들의 지식수준 및 문제 상황에 대한 충분한 이해와 수업의 철저한 준비가 요구된다. 1980년대 이후 문제해결(Problem solving)은 전 세계적으로 수학 교육에서 많은 관심을 갖고 있고 현재에 이르기까지 활발히 연구되어지고 있다. 이에 대해 우리나라에서도 꾸준히 연구되어지고 있고, 교육과정에도 반영될 수 있도록 노력하고 있다. 이와 더불어 최근 수학 교육에서 대두되고 있는 구성주의 교육과 창의 교육에 비추어보건대 이 연구는 학생들의 수학에 대한 이해를 알아봄에 있어 의미를 가질 수 있다.
more초록/요약
Mathematical problem solving of students appears in two different ways. One is problem solving based on instrumental understanding that students do not understand mathematical concepts and structural fundamentals of algorithms required to solve the problem but simply apply formulas. The other is problem solving based on relational understanding that students themselves understand problem situations, predict the results and construct solving strategies based on it. Between them, the recent mathematics education aims for the later way in terms of making an effort to improve students' understanding. In other words, instructors more focus on 'teaching to solve problems' than 'teaching about solving problems' when they teach students. However, research on students how they understand and solve mathematical problems should precede considering how to teach mathematics for students. Therefore, the researcher investigated students' problem solving strategies through observation and interviews after suggesting various problem situations to the students and letting them to solve the problems. And, we also tried to know errors and difficulties of the students that appeared in problem solving process. This study is to observe problem solving and mathematical understanding of students, so their active involvement in class and interview is required. Therefore, the researcher selected high school students who are interested in mathematics and have good grades in mathematics. The researcher planned each problem situations for the study and observed problem solving process of the students while teaching. And, intensive interview was performed with the second grade students about pertinent class contents to know their problem solving process in detail. In the suggested problem situations, the students structured their nowledge at understanding phase, and planned and carried an algorithm based on it. At understanding phase, the students structured their knowledge by predicting steps of problem solving based on their intellectual level and given facts from the question. Also, the students induced the prior learning experience related to suggested problem situation and tried to be familiar with the situation, so approach became convenient and mathematical schema was developed. Regarding these mathematical schema, the researcher subdivided it into simple schema and complicated schema, so mathematical schema was classified and analysed. Through the schema, the students were able to systematize problem solving and understand the problem by categorizing the problem situations. Based on understanding of these problems, the students predicted result of problem solving, planned many scenarios, and resolved the situations through trial and error. Moreover, at performing phase, the students were provided problem solving clues from the subordinate questions, thus minimized trial an error. This has dual-aspects that can help students in problem solving, on the other hand, weakens logical thinking of the students. However, in this study, the researcher brings up lack of verification and self-reflection steps while problem solving process as a drawback. It is observed that the students skipped or minimized self-reflection step because of absence of belief in problem solving. Like this, the students resolved problem situations following steps 'understanding, planning, performing, self-reflection' based on cognitive activities including 'reasoning, penetration, and discovering.' In addition, the students constructed problem solving strategies appropriately to solve the problem. Based on previous studies, the researcher classified problem solving strategies into 'Making a picture, intelligent guessing and testing, finding a pattern, considering extremes, organizing data, using logical reasoning, solving a simpler analogous problem, accounting for all possibilities, adopting a different point of view, and working backward', then investigated which one is applied to each problem situations. As a result, the students constructed problem solving algorithms through their meta-recognition and selecting appropriate strategies to understand the problem or resolve situations. In short, this study investigated students' problem solving and strategies from an standpoint of 'doing math' rather than 'learning math.' As a result, the students interacted between mathematical concepts and problem solving steps, also they used meta-recognition and problem solving strategies to resolve the situations. However, the role of instructors was important for students to solve the problems like this. The results revealed that problem solving structures and meta-recognition of the students were effective when the instructors directed them systematically. And, proper control was required since actual class environment consists of students at different levels so instructors are unable to maintain consistent monitor, helper, and role model. Therefore. instructors should prepare for the class based on adequate understanding of students' intellectual level and problem situations. Since 1980's, problem solving has been an area of interest in mathematics education worldwide, and studied actively so far. Our country is also studying on this constantly and trying to reflect the results in education process. In addition, comparing with constructionism education and creativity education that arises these days, this study is significant in terms of investigating students' understanding of mathematics.
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