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Global Solutions and Blow-up Solutions of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations and Systems

초록 (요약문)

In this thesis, we study the long-time behavior of the solutions to various nonlinear reaction-diffusion equations and systems. More precisely, the purpose of this thesis is twofold as follows: (i) to give necessary and sufficient conditions for the Fujita blow-up property, (ii) to obtain sufficient conditions for the general blow-up property. In fact, the problem of necessary and sufficient conditions for the existence and nonexistence of the global solutions (so called the Fujita blow-up) to the reaction-diffusion equation u_t= Δu + ψ(t) u^p have been still unsolved and left as an open problem. In this thesis, we solve this open problem for more general reaction term ψ(t)f(u), by using our method, so called the minorant method. Next, we characterize `completely' the existence and nonexistence of the global solutions to the nonlinear reaction-diffusion systems to give a necessary and sufficient conditions for the existence of the global solutions. Lastly, we obtain sufficient conditions for the blow-up solutions which depend on the shape of domain. The sufficient conditions improve the conditions ever known so far.

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초록 (요약문)

이 논문에서, 우리는 비선형 반응-확산 방정식과 연립방정식의 해의 긴 시간에 대한 움직임을 연구하였다. 자세히 설명하면, 이 논문의 목적은 다음과 같은 두 가지이다: (i) 후지타 폭발해에 대한 필요충분조건을 주는 것, (ii) 일반적인 폭발해에 대한 충분조건을 얻는 것. 사실, 반응-확산 방정식의 대역해의 존재에 대한 필요충분조건을 얻는 문제(후지타 폭발)는 아직까지 풀리지 않고 있고 미해결 문제로 남아있었다. 이 논문에서, 우리는 열세 방법이라고 불리는 우리만의 방법을 이용해 이 미해결 문제를 좀 더 일반적인 반응 항에 대해 해결하였다. 다음으로, 우리는 비선형 반응-확산 연립방정식의 대역해의 존재와 비존재를 완벽하게 분류하여 대역해가 존재할 필요충분조건을 주었다. 마지막으로, 우리는 영역의 모양에 의존하는 폭발해에 대한 충분조건들을 얻었다. 그 충분조건들은 이때까지 알려진 조건들을 발전시켰다.

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