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수학적 연결성 관점에서 본 고등학교 수학 교과서 분석 : 복소수 단원을 중심으로

  • 주제(키워드) 수학적 연결성 , 교과서 , 복소수
  • 발행기관 서강대학교 교육대학원
  • 지도교수 이재성
  • 발행년도 2021
  • 학위수여년월 2021. 8
  • 학위명 석사
  • 학과 및 전공 교육대학원 수학교육
  • UCI I804:11029-000000066171
  • 본문언어 한국어
  • 저작권 서강대학교 논문은 저작권보호를 받습니다.

초록/요약

2015 개정 수학과 교육과정에서 교육부는 학생들이 6 가지 수학 교과 역량인 문제 해결 능력, 추론 능력, 창의· 융합 능력, 의사소통 능력, 정보 처리 능력, 태도 및 실천 능력을 길러 창의· 융합형 인재가 될 것을 기대하고 있다. 여섯 가지 수학 교과 역량 중 ‘창의· 융합 능력’은 여러 수학적 지식, 기능, 경험을 연결하거나 수학과 타 교과나 실생활의 지식, 기능, 경험을 연결· 융합하여 새로운 지식, 기능, 경험을 생성하고 문제를 해결하는 능력을 의미한다. 교육부는 2015 개정 교육과정에서 ‘창의· 융합 능력’을 강조함으로써 수학 내적 연결성과 수학 외적 연결성을 강화하고자 하는 의도를 가지고 있다. 이 때, 수학적 연결성이랑 학습자가 올바른 이해를 하기 위해 그들이 가지고 있던 실생활에서의 경험이나 기존의 지식과 관련을 짓는 모든 활동을 의미한다. 연결성을 통한 올바른 이해가 이루어지면 다음 학습으로의 전이가 용이하게 될 뿐만 아니라 수학을 실생활과 결부시킴으로써 수학의 가치와 유용성을 이해할 수 있게 된다. 한편, 2015 개정 교육과정에 따라 고등학교 1학년 과정에서 학습하는 복소수는 수학 내적으로는 형식적으로 가장 완성된 영역이라는 의미를 가지고, 수학 외적으로는 복잡한 연산을 간단하게 할 수 있어 다양한 분야에 활용된다는 의미를 가지고 있다. 복소수의 완비성은 방정식 이론의 토대를 마련하는 계기가 되었기 때문에 학교 수학에서 방정식의 해를 구하는데 있어서 빠질 수 없는 내용이다. 따라서 학교에서 교육과정이 강조하고 있는 수학적 연결성을 사용하여 복소수 단원의 학습을 성공적으로 수행하고 있는지 알아보고자 본 연구에서는 2015 개정 교육과정에 따라 한국검인정교과서협회에 등록된 ⌜고등학교 수학⌟ 9종(전종)의 복소수 체계를 다룬 소단원을 수학적 연결성의 관점에서 분석하고자 다음과 같은 구체적인 연구문제를 설정하였다. 1. 2015 개정 교육과정에 따른 ⌜고등학교 수학⌟ 교과서의 복소수 단원에서 수학적 연결성은 교과서별, 연결성 유형별로 어떻게 나타나고 있는가? 2. 2015 개정 교육과정에 따른 ⌜고등학교 수학⌟ 교과서의 복소수 단원에서 수학적 연결성을 활용한 내용은 어떤 특징을 가지고 있는가? 첫 번째 연구문제를 해결하기 위해 분석틀을 제작하여 분석틀을 바탕으로 교과서에서 활용된 수학적 연결성 사례를 유형별로 분류하였다. 그리고 교과서별 수학적 연결성의 빈도수와 연결성 유형별 빈도수를 비교하였다. 두 번째 연구문제를 해결하기 위해 연결성을 활용한 사례를 분석하여 어떠한 특징을 가지고 있는지 교과서 내용 순서대로 도입, 전개, 마무리 부분으로 나누어 각 부분의 특징을 살펴보았다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫 번째 연구문제에 따라 교과서별 수학적 연결성의 빈도수와 연결성 유형별 빈도수를 분석한 결과, 교과서에서 수학적 연결성을 평균적으로 7회 활용하고 있었으며, 선행연구와 비교했을 때 증가한 수치를 나타내고 있어 교육과정에서 강조한 내용을 교과서에 잘 반영하고 있음을 알 수 있었다. 연결성 유형별로 살펴봤을 때에는 개념연결이 가장 많은 교과서에서 활용되고 있었고, 그 다음이 맥락연결, 표현연결, 교과연결 순으로 나타났다. 두 번째 연구문제를 해결하기 위해, 연결성을 활용한 사례를 분석하여 어떠한 특징을 가지고 있는지 살펴보았다. 내용 순서대로 도입, 전개, 마무리 부분으로 나누어 각 부분의 특징을 살펴보면 다음과 같다. 도입 부분에서는 수학사 또는 복소수의 활용분야를 설명하는 사례가 나타났다. 그러나 대부분의 사례가 수학자를 아주 간단히 소개하거나 몇 세기에 걸친 복소수의 역사를 3줄 정도의 문장으로 풀어내고 있어 학생들의 흥미를 유발하기에는 턱없이 부족한 수준이었다. 학생들의 일상 경험과 연결성을 높인다면 수학의 가치와 유용성을 인식하는데 긍정적인 영향을 미칠 수 있을 것이다. 전개 부분에서는 모든 유형의 연결성을 활용하고 있었는데, 두드러진 특징으로는 절차적 지식 위주로 연결성을 활용하고 있다는 것, 학생들의 오개념을 유발할 수 있는 표현을 사용하고 있다는 것, 그리고 이차방정식 내용과의 연결성 부족이었다. 절차적 지식을 설명하는 가장 대표적인 사례는 켤레복소수이다. 교과서에서 켤레복소수에 대한 설명은 단지 원래의 복소수에서 허수부분의 부호를 바꾼 복소수라는 설명뿐이다. 학생들이 켤레복소수 개념에 대해 올바른 이해를 하기 위해서는 왜 이러한 개념을 도입하는지에 대한 설명을 추가해야 할 것이다. 켤레복소수의 개념을 올바르게 이해하기 위해서는 이차방정식과의 연결성을 활용하는 것이 필요하다. 이차방정식의 근이 허근일 때 항상 그 근의 켤레복소수가 또다른 해로 나타난다는 것과 관련짓는다면 학생들은 보다 자연스러운 학습을 할 수 있을 것이다. 전개부분에서 복소수의 연산을 설명할 때, i를 문자처럼 생각하여 계산하라는 것은 학생들로 하여금 실수체계에서의 문자와 혼동을 일으켜 복소수를 새로운 수체계로서 받아들이는데 어려움을 느끼게 할 수 있다. 따라서 명확한 표현을 제시하는 것이 필요하다. 마무리부분에서는 복소수 단원을 마무리하며 추가적인 복소수의 성질을 탐구하는 등 다양한 연결성이 활용되었다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 이전 교육과정에 따른 교과서보다 2015 개정 교육과정에 따른 교과서에서 보다 더 균형 있는 수학적 연결성의 활용이 나타났다. 이는 교육과정에서 강조한 창의· 융합 능력을 함양하기 위하여 수학적 연결성의 중요성이 높아졌기 때문으로 해석할 수 있다. 즉, 교과서가 2015 개정 교육과정에서 강조한 역량을 잘 반영하고 있다는 것이다. 둘째, 방법적 지식 위주로 연결성이 활용되고 있다. 켤레복소수 개념을 도입하는 부분에서 학생들에게 왜 이러한 개념을 도입하는지에 대한 설명 없이 단지 ‘복소수 에서 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 ’를 의 켤레복소수라 한다는 것과 기호에 대한 정보만 제공되고 있다. 또한 복소수의 사칙연산 부분에서는 이전에 학습한 연산의 규칙이 복소수 체계에서도 동일하게 사용한다는 것을 보여주고 있다. 이 때 학생들은 실수 집합이 확장한 것으로서 복소수를 올바르게 이해하기 어려워하고, 오히려 실수 집합에 복소수 집합이 포함되는 것으로 오해하기도 했다. 결과적으로 학생들은 정의에 대한 암기와 연산 방법 익히기에만 몰두하게 된다. 셋째, 수학적 연결성의 질적 향상이 필요하다. 수학 내적 연결성에서는 복소수에 대해 실수의 대수적 규칙을 동일하게 따르는 새로운 수라는 것을 명시하지 않고 를 문자로 간주하라고 하는 경우 학생들이 복소수를 실수와 문자가 합해진 것 내지는 문자로 표현된 실수로 인식하며 형식적인 연산에만 몰두하게 될 것이다. 또한, 이차방정식과의 밀접한 연계를 활용하여 학생들이 개념의 필요성을 이해할 수 있도록 해야 한다. 학생들에게 새로운 수학적 아이디어를 설명할 때에는 수학의 실용성을 인식할 수 있도록 그것과 관련된 기존의 학습 내용을 연계해야 한다. 한편, 수학 외적 연결성에서는 대부분의 사례가 학생들에게 흥미 요소가 되기에는 부족한 일회적인 것으로 나타났다. 그 내용을 보다 구체적이고 풍부하게 제공하여 학생들의 흥미를 유발할 수 있도록 해야 한다. 넷째, 다양한 교과와의 연결성을 시도할 필요가 있다. 복소수 내용의 특성상 드러난 교과연결의 사례는 모두 과학 교과와의 연결이었다. 본 연구에 이어 연구되어야 할 후속 연구에 대해 제언하면 다음과 같다. 첫째, 본 연구는 수학적 연결성 관점에서 교과서를 분석하였기 때문에 수업을 위한 수학적 연결성을 강조한 교수· 학습 자료를 개발하고 이를 효과적으로 활용하는 방안에 대한 연구가 필요할 것이다. 둘째, 본 연구는 복소수 내용에 한정하여 수학적 연결성을 분석하였다. 연구 범위를 확장하여 연계성이 높은 단원을 학년 간, 학교급 간 연결성을 분석하면 수학적 연결성을 보다 깊고 유의미하게 활용하는 데에 도움이 될 것이다.

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