Cyclic Hn(0)-modules with a basis parametrized by a left Bruhat interval
- 주제(키워드) 0-Hecke algebra , Bruhat interval , projective cover
- 발행기관 서강대학교 일반대학원
- 지도교수 오영탁
- 발행년도 2021
- 학위수여년월 2021. 2
- 학위명 박사
- 학과 및 전공 일반대학원 수학과
- UCI I804:11029-000000065871
- 본문언어 영어
- 저작권 서강대학교 논문은 저작권보호를 받습니다.
초록/요약
The 0-Hecke algebra Hn(0) is a degenerate Hecke algebra obtained from the generic Hecke algebra Hn(q) by specializing q into 0. Beautiful in itself, but its representation theory has attracted the attention of many mathematicians due to the notable connections with quasisymmetric functions and noncommutative symmetric functions. In the first part of the thesis, we find the projective covers of very significant Hn(0)-modules from the viewpoint of categorification. More precisely, we deal with Hn(0)-modules Vα, Xα, and Sσα which categorify the dual immaculate quasisymmetric function, the extended Schur function, and the quasisymmetric Schur function when σ is the identity, respectively. We show that Vα and Xα share the same projective cover, which is the projective indecomposable module Pα discovered by Norton. Contrary to Vα and Xα, Sσα is not indecomposable in general. We explicitly construct the projective cover of every indecomposable direct summand of Sσα and reveal the hidden relation between the direct summand called the canonical submodule with Vα and Xα. In the second part of the thesis, we study the family of cyclic Hn(0)-modules which can be expressed as Hn(0)πσπρ for some permutations σ,ρ∈Sn. The advantage of these modules lies in that they have a basis naturally parametrized by a left Bruhat interval. We show that the modules in our concern such as Pα, Vα, Xα, and Sσα,E are all in this family. Going further, we investigate (anti-)automorphism twists, induced modules, and restricted modules of Hn(0)πσπρ for any σ,ρ∈Sn.
more초록/요약
헤케 대수 Hn(0)는 일반적인 헤케 대수 Hn(q)의 q에 0을 대입하여 얻어지는 퇴화헤케대수이다. 0-헤케 대수의 표현론은 유사대칭함수들과 비가환대칭함수들과의 괄목할 만한 관계로 인해 많은 수학자들의 관심을 받았다. 이 학위 논문의 첫번째 주제는 범주화의 관점에서 중요한 Hn(0)-가군들의 사영덮개를 찾는 것이다. 자세히 말하자면, 우리는 쌍대 무결 유사대칭함수와 확장된 슈어함수를 각각 범주화 하는 Hn(0)가군들 Vα와 Xα 그리고 σ가 항등원일 때 유사대칭 슈어함수를 범주화하는 Hn(0)-가군 Sσα를 다룬다. 우리는 Vα와 Xα의 사영덮개가 Norton에 의해 알려진 분해 불가능한 사영가군 Pα임을 보였다. Vα나 Xα와는 다르게 Sσα는 일반적으로 분해가 가능하다. 우리는 Sσα의 모든 분해 불가능한 직합인자의 사영덮개를 구체적으로 구성하였으며 기본부분가군이라 불리는 직합인자와 Vα와 Xα 사이의 숨겨진 관계를 밝혀냈다. 이 학위 논문의 두번째 주제는 어떤 σ,ρ∈Sn에 대해 Hn(0)πσπρ꼴로 표현될 수 있는 순환 Hn(0)-가군을 연구하는 것이다. 이 가군들의 장점은 이들이 좌 브루하구간으로 자연스럽게 매개변수화 되는 기저를 갖는다는 것이다. 우리는 위에서 다루었던 Pα와 Vα, Xα, 그리고 Sσα의 분해 불가능한 직합인자 Sσα,E들이 모두 이런 꼴의 가군으로 표현될 수 있다는 사실을 보였다. 더 나아가서, 우리는 이 가군들의 (반)자기동형 뒤틀림과 유도가군들, 그리고 제한된 가군들에 대해 조사하였다.
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