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고등학교 수학Ⅱ 교과서에서 극한과 연속의 개념 정의에 대한 분석

An analysis of concept definition of limit and continuity in the high grades of math textbook.

초록/요약 도움말

교과서는 교사와 학생이 개념 정의를 가르치고 학습하는데 가장 먼저 접하게 되는 도구이다. 따라서 교사는 교과서에서 제시하는 개념 정의를 정확히 이해해야 할 뿐만 아니라 학생들과 연결하는 매개체로서 이를 분석할 필요가 있다. 미적분학을 수강하게 될 대학생들을 대상으로 형식적인 의미로서의 극한을 5학기 동안 학습하게 하였을 때, 동적인 의미로서의 극한과 도달할 수 없는 의미로서의 극한을 동시에 인지하고 있었다. 이를 바탕으로 고등학교 교과서에서 제시하는 극한의 정의가 어떠한 측면으로 기술되어 있는지 분석할 필요성이 생겼고, 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 2007 개정 교육과정의 고등학교 수학Ⅱ 교과서에서 williams(1991)이 제시한 극한의 개념 정의에 대한 분석틀을 통해 분석했을 때, 극한을 어떠한 유형으로 정의하고 있는가? 둘째, 2007 개정 교육과정의 고등학교 수학Ⅱ 교과서를 분석했을 때, 각 교과서 별로 연속의 개념을 어떻게 정의하고 있고, 극한의 개념과 연속의 개념을 어떻게 연결하고 있는지를 설명하기 위해 어떠한 구성을 하고 있는가? 이 연구에서 말하는 형식적인 의미로서의 극한은 극한의 정의를 기호화하여 언어적 표현의 한계가 있었던 Cauchy의 정의를 산술적인 정의로 완성한 Weierstrass의 방법을 의미한다. 이 극한의 정의는 직관적인 극한의 정의로 극한을 구하는 문제에서 한계가 있기 때문에 그래프를 그릴 수 없는 함수의 극한을 구할 때와 증명을 할 때 사용하기 위해 나온 개념 정의이다. 이 연구에서는 2007 개정 교육과정에 따른 고등학교 수학Ⅱ 교과서 10종을 선택하여 함수의 극한과 연속 단원에서 극한의 정의를 Williams(1991)이 제시한 극한의 정의에 대한 분석틀에 따라 분석하였다. 구체적으로 10종의 교과서를 Williams의 분석틀에 의해 극한의 정의를 분석하기 위해 여섯 가지 영역에서 연구결과를 정리 하였다. 여섯 가지 영역은 다음과 같다. 첫째, 함수의 극한에 들어가기 전 도입부에서 극한의 정의를 어떻게 유도하고 있는지를 분석하였다. 둘째, 함숫값의 수렴을 학습하는 영역에서 극한의 개념을 어떠한 유형으로 정의하는지 분석하였다. 셋째, 함숫값의 발산을 학습하는 영역에서 극한의 개념을 어떠한 유형으로 정의하는지 분석하였다. 넷째, 우극한과 좌극한의 개념 정의를 어떠한 유형으로 설명하는지에 대해 살펴보았다. 다섯째, 연속의 정의를 어떻게 하고 있고, 위의 기준에 따라 분석한 극한의 정의와 어떻게 연결하여 연속을 정의하고 있는지에 대해 분석하였다. 여섯째, 극한과 연속의 개념 정의를 연결하기 위하여 교과서별로 어떠한 구성을 하였는지 분석하였다. 그 결과 대부분의 교과서에서 동적인 의미로서의 극한과 도달할 수 없는 의미로서의 극한으로 분석되었다. 이는 고등학교 교과서의 극한 개념이 직관적인 관점으로 한정하여 개념을 정의한 것으로 보인다. 하지만 교과서에서 제시하는 수학 과제 중에서 직관적인 관점으로 해결할 수 없는 과제들이 많다. 교과서에서는 이러한 과제를 해결하기 위한 방법을 암기하도록 기술하였는데 교사들은 직관적인 관점 이상으로 학생들이 극한을 사고할 수 있도록 교수방법을 개발해야 하며 교사를 양성하는 교육기관에서도 이를 위한 노력이 필요하다.

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초록/요약 도움말

Textbook is the tools of the first encounter of teachers and students to teach and learn concept definition. Thus the teacher should be accurately understood the concept definition presented in textbooks, as well as it is necessary to be analyzed as a vehicle connected with student. When students completing a course in calculus for five semesters learn 'limit as formal', most of them recognize to 'limit as dynamic' and ' limit as unreachable' at the same time. Based on this, concept definition presented in a high school textbook need to analysis. In this study, I selected 10 kinds of high school mathematics textbooks according to the 2007 revised curriculum, in using a framework for limit Williams presented. Study results are summarized in the six areas for an analysis of definition of limits. As a result, most of the textbooks are analyzed to 'limit as dynamic' and ' limit as unreachable'. It seems to be ultimate to concept definition in terms of intuitive concept in the high school textbooks.

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