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증명이론에 따른 2007년 개정 중학교 2학년 수학교과서 증명영역 '삼각형의 성질' 분석

초록/요약

현재 2007년 개정 교과서에는 중학교 2학년부터 연역적인 증명과정이 도입되고 있다. 많은 학생들이 교과서에서 제시하는 증명을 학습하는 과정에서 상당한 어려움을 느끼는 것을 교육현장에서 경험하며 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 첫째, 증명의 의미와 필요성에 대해 교과서가 어떻게 제시하고 있는지 둘째, 귀납적 방법을 통해 증명의 단서를 찾고 연역적 방법으로 그 증명을 마무리 하는 추론 과정을 교과서가 어떻게 제시하고 있는지 셋째, 학생들의 사고 수준을 고려하여 다양한 비형식적 조작 활동을 통해 형식적 증명으로 옮아가는 비형식적 정당화가 교과서 증명 영역에 어떻게 적용되고 있는지를 연구 문제로 설정하고 교과서 ‘삼각형의 성질’ 단원을 분석하였다. 증명의 본질, 귀납-연역법의 증명방법, 비형식적 정당화, 증명학습 사고수준에 관한 선행연구에 근거하여 교과서를 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 분석한 7종 교과서 중에 4종 교과서는 증명의 필요성에 대한 언급 없이 증명이란 용어를 정의하였고, 나머지 3종 교과서는 관찰과 실측에 의한 추측의 한계점을 언급하여 증명의 필요성을 알도록 한 후 증명이라는 용어를 정의하였다. 둘째, 7종의 모든 교과서는 연역적 증명방법만을 제시하였고, 7종 중 2종 익힘책에서만 증명의 풀이과정이 발견 가능한 귀납적 증명방법을 한 문제씩 제시하였다. 셋째, 7종의 모든 교과서는 단원의 도입부에 종이접기, 만화 등을 활용한 비형식적 활동을 제시하였다. 그러나 7종 중 6종 교과서가 비형식적 활동 후에 증명 과정에 대한 탐구과정 없이 바로 연역적 증명을 제시하였다. 7종 중 1종 익힘책에서만 비형식적 활동에서 이등변 삼각형의 성질에 대한 충분한 탐구 과정이 이루어진 후에 연역적 증명으로 접근하도록 탐구활동을 제시하였다. 마지막으로 교과서가 Waring의 증명에 대한 학생들의 이해의 발달 수준 중 어느 수준을 요구하고 있는지 분석 해본 결과 증명 2수준은 17%, 증명 3수준은 17%, 증명 4수준은 66% 이다. 결론에 대하여 간단히 설명하자면 다음과 같다. 첫째, 연역적 증명문제는 중학교 2학년에 처음으로 도입되는데 학생들은 증명의 의미나 필요성에 대해 충분히 이해하기도 전에 단일화 되어있는 증명의 전개 방법과 표현 방법을 학습하게 된다. 증명의 본질을 이해하지 못한 채 바로 연역적인 증명을 학습하게 되면 암기하는 수준에서 학습이 이루어지는 심각한 교육적 문제를 낳게 되므로 교과서는 증명의 의미와 필요성을 좀 더 자세하고 의미 있게 제시할 필요가 있다. 둘째, 연역적인 전개 과정에는 증명 도구를 관찰하고 발견하는 과정이 생략되어있다. 교과서는 학생들이 귀납적 방법을 통하여 증명과정을 탐색한 후 분석한 내용을 정리하여 연역적으로 증명을 완성할 수 있도록 귀납-연역의 통합적 방법을 제시하는 것이 필요하다. 셋째, 현재 학교수학에서 이루어지고 있는 증명의 흐름은 실험이나 활동에 의해서 증명에 친숙하게 다가가며 정당화하는 경향이 나타나고 있다. 교과서에서는 대부분이 도입 과정에서 간단한 몇 가지 실험만을 한 후에 학생들에게 연역적 증명을 이해하도록 하고 있어서 중간의 직관적인 추론단계가 생략된 것이 많다. 교과서는 도입단계의 실험적 활동에 대하여 학생들에 수준에 맞는 직관적 단계로서의 증명을 통한 학습을 한 후에 연역적 증명으로 나아가도록 보완될 필요가 있다.

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초록/요약

The deductive proof is introduced to middle school students, starting from the second grade, in middle school mathematics textbook of the 2007 revised curriculum. The writer of this thesis experienced in the educational field that a great many of middle school students have difficulties learning proof suggested by the mathematics textbook. this study established the following research questions to analyze the present middle school mathematics textbooks. First, how does the mathematics textbook suggest the meaning and necessity of proof? Second, how does the mathematics textbook suggest a reasoning process of finding out clues of a proof through an inductive method and completing the proof through a deductive method? Third, how is the informal justification applied to the proof section in the mathematics textbooks, which turn a informal proof into a formal proof through various informal manipulation activities in consideration of students' thinking levels? On the basis of previous researches on the essence of proof, the proof method of inductive and deductive method, the informal justification and the thinking levels of proof learning, this study analyzed the mathematics textbook and provided the following results. First, 4 kinds out of the 7 kinds of mathematics textbooks analyzed for this study were found to define the term, 'proof', without mentioning the necessity of proof, while the remaining 3 kinds of mathematics textbooks defined the term' proof' after making students understand the necessity of proof by suggesting limitations of methods conducted by observations and actual measurements. Second, all the 7 kinds of mathematics textbooks suggested only the deductive proof method, and only 2 kinds out of the 7 kinds of mathematics practice books suggested one question each about the inductive proof method through which a process of solving proof can be possibly discovered. Third, all the 7 kinds of mathematics textbooks suggested informal activities in the introduction part, such as paper folding and cartoons. However, 6 kinds out of the 7 kinds of mathematics textbooks suggested the deductive proof without an exploration process about the proof process after informal activities. Only one out of the 7 kinds of mathematics practice books suggested exploration activities for students to approach the deductive proof after going though a sufficient exploration process about the properties of isosceles triangle through informal activities. Last, as a result of analyzing what levels the mathematics textbooks requires out of 'the development levels of student's understanding about Waring's Proof, it was found that there were 17% in the second level of proof, 17% in the third level of proof and 66% in the fourth level of proof. The conclusions of this study can be summarized as follows: First, questions about the deductive proof are usually introduced into the middle school mathematics textbook for the second grade for the first time, but students learn the simplified way of developing and expressing proof before they sufficiently understand the meaning or necessity of proof. When they learn deductive proof methods without understanding the essence of proof, there may be a serious educational problem that students learn this process merely in a level of memorization. Therefore, the mathematics textbook is needed to suggest the meaning and necessity of proof more accurately and meaningfully. Second, a process of observing and discovering proof tools is omitted from the deductive development process. For students to explore a proof process through an inductive method and complete the proof deductively by arranging the contents analyzed, the mathematics textbook is needed to suggest an integrated method of an inductive method and a deductive method. Third, in the flow of proof of the present middle school mathematics, there occurs a trend that justifies and approaches proof with experiments or activities. Unfortunately, most of the middle school mathematics textbooks just have students understand the deductive proof after a couple of simple experiments in the introduction part with middle intuitive reasoning stages omitted. Therefore, the middle school mathematics textbook should be supplemented for experimental activities in the introduction part so that students may learn through proof in the intuitive stage fit for their thinking levels before getting directly involved in the deductive proof.

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