Diffusion and Elastic Equations on Networks and Their Inverse Conductivity Problems
- 발행기관 서강대학교 대학원
- 지도교수 정순영
- 발행년도 2007
- 학위수여년월 200702
- 학위명 박사
- 학과 및 전공 수학
- 식별자(기타) 000000103798
- 본문언어 영어
초록/요약
In this thesis, we deal with three topics on forward and inverse problems for partial differential equations on networks. The first topic is the forward and the inverse problems for $\omega$-diffusion equations on networks, which can be understood as heat equations on discrete medium. After giving their definitions and physical meanings, we solve the Cauchy problems and the Dirichlet boundary problems for the equations. Then, based on these results, we discuss an inverse conductivity problem for the equations on networks under the monotonicity condition. The second topic we investigate is the nonlinear $\omega$-diffusion equations, called $\omega$-diffusion equations on networks. The existence and the uniqueness of the solutions of the equations are proved by using Banach''s fixed point theorem. Finally, the $\omega$-elastic equations on networks are studied as a discrete version of wave equations. We give a physical interpretation and obtain results similar to those on $\omega$-diffusion equations, on the Cauchy problems, the Dirichlet boundary value problems and an inverse conductivity problem for the equations.
more초록/요약
이 논문에서는 네트웍 위에 주어진 여러가지 이산 편미분 방정식들에 관하여, 각 방정식들의 풀이와 그 역전도성 문제와 관련된 3가지 주제들을 다룬다. 첫번째 주제는 네트웍 위에 주어진 ''확산 방정식'' 의 풀이와 역전도성 문제로, 확산 방정식의 정의와 그 물리적인 의미를 살펴본 후, 코시 초기값 문제와 디리끌렛 경계값 문제의 해가 유일하게 존재함을 보인다. 그 뒤 이러한 결과를 바탕으로, 확산방정식을 만족하는 네트웍의 전도성은 적어도 단조성 조건 하에는 그 네트웍의 경계의 조건 만으로 유일하게 결정이 됨을 증명한다. 두번째 주제로는 네트웍 위에 주어진 ''확산-반응 방정식'' 을 다루는데, 이 방정식의 본래의 뜻은 비선형 항이 추가된 확산 방정식을 의미한다. ''바나하 고정점 정리'' 를 이용하여, 이 방정식의 해의 존재성과 유일성을 증명하게 된다. 마지막으로, 세번째 주제로 네트웍 위에 주어진 ''탄성 방정식'' 을 연구한다. 탄성방정식의 뜻과 물리적 모델의 제시, 초기값문제와 경계값 문제의 해의 존재성과 유일성, 단조성 조건 하에서의 전도성의 유일성 문제 등에 관하여 앞서 살펴본 확산 방정식과 유사한 결과들을 증명한다.
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